Abstract
Una serie di lavori di Helffer--Hoffman Ostenoff--Terracini caratterizzano le partizioni spettrali ottimali della realizzazione di Dirichlet dell'operatore Laplaciano su domini limitati connessi regolari come insiemi nodali di una delle relative autofunzioni.
Ci interessiamo a tali partizioni per il secondo autovalore su domini del tipo "manubrio con manico sottile". Dal punto di vista di sistemi di reazione-diffusione, questi problemi hanno un'interessante controparte fisica in quello che si chiama "effetto tunnel": grazie alla doppia natura onda-particella della materia, una particella quantistica riesce ad oltrepassare una barriera (fisica o di potenziale) che classicamente non potrebbe superare.
Matematicamente, questo fenomeno può essere letto nella nascita di una singolarità per la seconda autofunzione nel punto di connessione tra il manubrio e uno dei pesi, man mano che il tubo si strizza fino a scomparire. Lo strumento adeguato per lo studio di queste singolarità sembrano essere le formule di monotonia di Almgren, eventualmente dopo un'analisi di blow up nel punto interessato dalla nascita di tale singolarità.
Proprio da questa analisi di blow up nasce l'interesse a soluzioni dell'equazione di Laplace in domini formati da diverse camere, in cui si scopre che la geometria stessa del dominio influenza l'andamento asintotico delle soluzioni.