ANALISI MATEMATICA I | Università degli studi di Bergamo

ANALISI MATEMATICA I

Attività formativa monodisciplinare
Codice dell'attività formativa: 
22050

Scheda dell'insegnamento

Per studenti immatricolati al 1° anno a.a.: 
2020/2021
Insegnamento (nome in italiano): 
ANALISI MATEMATICA I
Insegnamento (nome in inglese): 
MATHEMATICAL ANALYSIS I
Tipo di attività formativa: 
Attività formativa di Base
Tipo di insegnamento: 
Obbligatoria
Settore disciplinare: 
ANALISI MATEMATICA (MAT/05)
Anno di corso: 
1
Anno accademico di offerta: 
2020/2021
Crediti: 
9
Responsabile della didattica: 

Altre informazioni sull'insegnamento

Modalità di erogazione: 
Didattica Convenzionale
Lingua: 
Italiano
Ciclo: 
Primo Semestre
Obbligo di frequenza: 
No
Ore di attività frontale: 
72
Ambito: 
Matematica, informatica e statistica
Prerequisiti

1. Geometria euclidea del piano: in particolare, i criteri di uguaglianza e di similitudine dei triangoli, i teoremi di Euclide e di Pitagora, le proprietà elementari dei poligoni e dei cerchi. Corrispondenza tra i numeri reali e i punti di una retta; intervalli, semirette; piano cartesiano; distanza tra due punti nel piano. Luoghi geometrici elementari del piano: retta (condizioni di parallelismo e di perpendicolarità), circonferenza, ellisse, parabola ed iperbole.
2. Potenze con esponente naturale, proprietà delle potenze; polinomi: divisibilità, regola di Ruffini, radici, fattorizzazione. Potenze con esponente razionale o reale: loro grafico e principali proprietà. Funzione esponenziale, suo grafico e sue principali proprietà. Logaritmo, suo grafico e sue principali proprietà.
3. Funzioni reali di variabile reale: dominio, codominio, grafico; intersezioni tra grafici e loro significato algebrico; grafico della funzione valore assoluto; grafico di f(-x), di f(|x|), di |f(x)|, di f(x+c), di f(x)+c. Funzioni pari, dispari, periodiche.
4. Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado; sistemi di equazioni e di disequazioni.
5. Equazioni e disequazioni irrazionali; con esponenziali, logaritmi e valore assoluto.
6. Trigonometria: misura in radianti di un angolo; identità e relazioni fondamentali, angoli notevoli; grafici di seno, coseno, tangente; equazioni e disequazioni con funzioni trigonometriche.

Obiettivi formativi

Al termine del corso lo studente possederà una buona padronanza dei metodi e delle tecniche proprie dell’analisi matematica. In particolare, sarà in grado di calcolare limiti e derivate, utilizzare questi strumenti per studiare il comportamento di una funzione reale di variabile reale e tracciarne quindi un grafico qualitativo. Saprà inoltre utilizzare le principali tecniche per la determinazione della primitiva di una funzione e calcolare quindi integrali definiti. Conoscerà infine i principali criteri per lo studio della convergenza delle serie numeriche e degli integrali impropri.
Al fine di conoscere le potenzialità ed i limiti degli strumenti precedentemente descritti lo studente avrà inoltre una piena consapevolezza dei loro fondamenti teorici e saprà esprimerli con adeguata proprietà di linguaggio.

Contenuti dell'insegnamento

1. Numeri reali.
2. Limiti di successioni.
3. Serie.
4. Limiti e continuità di funzioni.
5. Derivate.
6. Integrali definiti.
7. Integrali generalizzati

Metodi didattici

Il corso prevede lezioni frontali, esercitazioni ed eventuale tutorato.
Lo studente è stimolato a partecipare in modo attivo a tutte e tre le attività.

Modalità verifica profitto e valutazione

La prova d’esame vuole verificare il raggiungimento da parte dello studente degli obiettivi formativi previsti dal corso. In particolare:
- padronanza dei metodi e delle tecniche sviluppate nel corso
- consapevolezza dei loro fondamenti teorici
- adeguatezza del linguaggio utilizzato.
Possono accedere all’esame di Analisi Matematica solo gli studenti in regola con l’OFA in matematica.
L’esame prevede una prova pratica ed una teorica, entrambe obbligatorie.
La prova pratica consiste in uno scritto della durata di 2 ore, con 5/6 esercizi a risposta aperta che assegnano ciascuno un punteggio precisato all’inizio di ogni prova. Si accede alla prova teorica conseguendo un punteggio superiore o uguale a 15.
I risultati della prova pratica vengono pubblicati sulla bacheca online del corso in tempo utile per sostenere la prova teorica.
Hanno accesso alla prova teorica solo gli studenti che hanno superato la prova pratica. La prova teorica va sostenuta nello stesso appello di quella pratica, circa 7/10 giorni dopo.
La prova teorica può avere forma orale o scritta, e in ogni caso consiste in 3/4 domande in cui si valuta la conoscenza di definizioni, esempi, enunciati di teoremi, dimostrazioni. Sono tenute in considerazione anche la pertinenza della risposta rispetto alla domanda, la capacità di sintesi, la proprietà di linguaggio.
Se la prova teorica ha forma scritta, ha una durata di un’ora. In questo caso la correzione e valutazione inizia immediatamente dopo la prova stessa e può continuare anche nei giorni successivi, secondo un calendario stabilito seduta stante.
Anche nel caso in cui la prova teorica abbia forma orale, questa può continuare anche nei giorni successivi, secondo un calendario stabilito seduta stante.
Il voto finale è dato dalla media aritmetica tra il punteggio della prova teorica e quello della prova pratica.

Prerequisites

1. Plane Euclidean geometry: in particular, triangle criteria for equality and similarity, Euclid and Pythagoras theorems, elementary properties of polygons and circles. One-to-one correspondence between real numbers and points on a line; intervals, half line; Cartesian plane; distance between two points in the place: Elementary locus in the plane: line (parallelism and orthogonality conditions), circle. ellipse, parabola and hyperbole.
2. Powers with integer exponent, properties of powers, polynomials: divisibility, Ruffini rule, roots, factorization. Powers with rational and real exponent, graphics and main properties. Exponential functions: its graphic and its main properties. Logarithms, its graphic and main properties.
3. Real function of real variable: domain, codomain, graphics, intersection between graphics. Absolute value, graphics of f(-x), di f(|x|), di |f(x)|, di f(x+c), di f(x)+c. Even, odd and periodic functions.
4. Equations and Inequalities of first and second degree. System of equations and inequalities.
5. Irrationals equations and inequalities, Equations and Inequalities with Exponentials, Logarithm and absolute value.
6. Trigonometry: measure of angles in radiant, fundamental identity Graphics of sine, cosine and tangent. Equations and Inequalities with trigonometric functions

Educational goals

At the end of the course the student will master the main methods and techniques of mathematical analysis. In particular, she/he will be able to calculate limits and derivatives, use these tools to study the behavior of real functions of real variable and then trace a qualitative graph. She/he will also use the main techniques for the determination of the primitive of a function and then compute definite integrals. Finally she/he will know the main criteria for the study of the convergence of numerical series and improper integrals.
In order to know the potential and limitations of the tools described above, the student will also have a full awareness of their theoretical foundations and will express them with adequate command of the language.

Course content

1. Real numbers.
2. Sequences and limits.
3. Series.
4. Limits and continuity of functions.
5. Derivative.
6. Definite integrals.
7. Generalized integrals

Teaching methods

The teaching is composed by lectures, exercises
and tutoring. The student is
encouraged to attend to all three activities.

Assessment and Evaluation

The exam aims at verifying that students achieve the educational objectives described above. In particular:
- Mastery of the methods and techniques developed
- Awareness of their theoretical foundations
- Appropriateness of the language used.
Only students who succeeded the entrance test in mathematics (OFA) can access the exam. The exam consists of two parts, both mandatory. In the first part students will be asked to solve problems and in the second one they will be asked to answer some theoretical questions.
The part of problem solving will last two hours and will consist of 5/6 exercices to be solved in full. Each exercice will be given a grade specified at the beginning of the exam. Only students who obtained a grade greater than or equal to 15 can access the theoretical part.
The results of the problem solving exam will be published on the web page of the course early enough to prepare the theoretical exam.
Only the students who succeeded the problem solving exam with a grade greater than or equal to 15 can access the theoretical exam.
The latter must be taken in the same session of the problem solving exam, approximately 7/10 days after it. The theoretical exam can have either written or oral form. It will consist of 3/4 questions about definitions, examples, theorems or proofs. The final mark will take into account the correctness, clarity and the ability to justify the conclusions reached.
If the theoretical exam has a written form, it will last an hour. In this case, the correction and evaluation will begin immediately after the exam itself.
In both cases, written or oral form, the evaluation of the theoretical part can last some days. The schedule is stated just after the exam.
The final grade is the arithmetic mean between the problem solving and theoretical parts.
The results are recorded in the information system of the University according to the usual procedures